RC-tijd berekenen: van tijdconstante naar een echte schakeltijd

Door Francesco Zinghinì

Het korte antwoord staat in twee regels. De tijdconstante is het product van weerstand en capaciteit, en de tijd tot een gekozen drempelspanning volgt uit de natuurlijke logaritme van de resterende spanningsverhouding:

τ = R · C
laden  : t = τ · ln( Vin / (Vin − Vdrempel) )
ontladen: t = τ · ln( V0 / Vdrempel )

Met R in ohm en C in farad komt τ in seconden uit. De RC-tijdconstante-calculator geeft τ en de standaardpercentages bij 1τ tot 5τ; deze gids laat zien hoe je daar een concrete schakeltijd uit haalt, hoe je andersom R en C kiest bij een gewenste tijd, en waarom je meting toch tien procent naast je berekening kan liggen.

Waarom er een logaritme in staat

Het laden van een condensator via een weerstand is een terugkoppeling: hoe voller de condensator, hoe kleiner het spanningsverschil over de weerstand, dus hoe kleiner de laadstroom, dus hoe langzamer hij verder laadt. Dat leidt onvermijdelijk tot een exponentiële curve:

Vc(t) = Vin · (1 − e^(−t/τ))

Wil je die vergelijking naar t oplossen, dan moet de exponent eruit — en dat doet de natuurlijke logaritme. Herschrijf je de formule, dan krijg je precies de uitdrukking hierboven. Daar komt ook het bekende getal 63 % vandaan: vul t = τ in en je krijgt 1 − e⁻¹ = 0,632. Het is geen afspraak of vuistregel maar een direct gevolg van de wiskunde. Om dezelfde reden is de tijd tot de helft van de eindspanning niet 0,5τ maar τ·ln2 = 0,693τ.

Van R en C naar een tijd: een uitgewerkt voorbeeld

Neem een inschakelvertraging op een microcontroller die op 3,3 V werkt en waarvan de ingang bij ongeveer 2,0 V omslaat. De RC-combinatie is R = 47 kΩ en C = 2,2 µF.

1. Tijdconstante: τ = 47 000 · 2,2·10⁻⁶ = 0,1034 s = 103,4 ms.
2. Resterend verschil op de drempel: Vin − Vdrempel = 3,3 − 2,0 = 1,3 V.
3. Verhouding: 3,3 / 1,3 = 2,538 ; ln(2,538) = 0,9316.
4. Schakeltijd: t = 0,1034 · 0,9316 = 96,3 ms.

Merk op hoe dicht die 96,3 ms bij τ ligt. Dat is geen toeval: een drempel van 2,0 V op 3,3 V is 61 % van de eindwaarde, en 63 % wordt nu eenmaal bij precies 1τ bereikt. Ligt je drempel rond twee derde van de voedingsspanning, dan is τ zelf al een uitstekende schatting van de schakeltijd. Ligt de drempel op 90 %, dan heb je 2,3τ nodig; op 99 % zit je op 4,6τ. De curve wordt steeds vlakker, en daarom is de laatste procent altijd het duurst in tijd.

Andersom rekenen: van een gewenste tijd naar R en C

In de praktijk staat de tijd vast en zoek je de componenten. Omdat één vergelijking twee onbekenden bevat, kies je er eerst één — en dat is bijna altijd C, omdat condensatoren in veel grovere stappen verkrijgbaar zijn dan weerstanden. De werkwijze:

1. Bereken de benodigde tijdconstante: τ = t / ln(Vin/(Vin − Vdrempel)).
2. Kies een gangbare C.
3. Bereken R = τ / C en rond af naar de dichtstbijzijnde E-reeks-waarde.
4. Reken de werkelijke tijd terug en beoordeel de afwijking.

Voorbeeld met dezelfde 3,3 V en drempel van 2,0 V, maar nu met een gewenste vertraging van 250 ms. De benodigde tijdconstante is 0,250 / 0,9316 = 0,2684 s. Kies C = 4,7 µF, dan volgt R = 0,2684 / 4,7·10⁻⁶ = 57,1 kΩ. Die waarde bestaat niet; de dichtstbijzijnde E24-waarde is 56 kΩ. Daarmee wordt τ = 0,2632 s en de werkelijke tijd 245,2 ms — een afwijking van 1,9 %. Dat is ruimschoots binnen wat de componenttoleranties toch al veroorzaken, zoals de volgende paragraaf laat zien.

Ontladen: dezelfde formule, andere richting

Bij ontladen vervalt de term met het verschil en houd je de zuivere verhouding over: t = τ · ln(V0/Vdrempel). Een praktijkgeval waarin dit telt, is de ontlaadweerstand over een buffercondensator. Stel: een elco van 4700 µF staat op 24 V, met een ontlaadweerstand van 4,7 kΩ erover.

τ = 4700 · 4700·10⁻⁶ = 22,09 s
t (tot 3 V) = 22,09 · ln(24/3) = 22,09 · 2,079 = 45,9 s

Bijna een minuut dus voordat de spanning tot een ongevaarlijk niveau is gezakt. Reken bij zo'n ontlaadweerstand meteen zijn dissipatie mee: P = V²/R = 24²/4700 = 0,12 W. Een weerstand van 0,25 W is dan krap bemeten — kies 0,5 W, conform de marge die de gids over de wet van Ohm aanbeveelt. En bedenk dat die weerstand permanent stroom trekt, ook als de schakeling niets doet.

Waarom je meting afwijkt van je berekening

Reken je 96,3 ms uit en meet je 108 ms, dan is je berekening waarschijnlijk niet fout. De vier gebruikelijke oorzaken, op volgorde van belang:

• De tolerantie van de condensator. Elektrolytische condensatoren hebben typisch ±20 %, en oudere types zelfs −10/+50 %. Omdat τ recht evenredig met C is, betekent +20 % capaciteit meteen +20 % tijd. De weerstand met zijn ±1 % of ±5 % is daarbij vergeleken verwaarloosbaar.
• De spanningsafhankelijkheid van keramische condensatoren. Klasse 2-diëlektrica (X7R, Y5V) verliezen een aanzienlijk deel van hun capaciteit zodra er gelijkspanning op staat, en verlopen bovendien met de temperatuur. Een als 1 µF verkochte X7R kan bij zijn nominale spanning nog maar een fractie daarvan zijn. Voor timing gebruik je liever klasse 1 (C0G/NP0) of film.
• De bron- en belastingsweerstand. De uitgangsweerstand van wat de RC voedt, telt gewoon bij R op; de ingangsweerstand van wat je aansluit, staat parallel aan de condensator en verkort de tijd. Bij lage R merk je dat nauwelijks, bij hoge R des te meer.
• Lekstroom. Zowel de condensator zelf als de ingang waar je op aansluit lekt. Neem een CMOS-ingang met een gespecificeerde lekstroom van 1 µA en een R van 10 MΩ: die 1 µA veroorzaakt in rust al een spanningsverschuiving van 10 V — meer dan de voedingsspanning. Houd R daarom bij voorkeur onder ongeveer 1 MΩ en maak lange tijden liever met een grotere C.

De praktische conclusie: een RC-timing is nauwkeurig op enkele tientallen procenten, niet op de procent. Wil je het beter, dan gebruik je geen RC maar een kristal of een teller op een digitale klok. Wie een RC-timing gebruikt waar precisie telt, ontwerpt tegen de natuurkunde in.

De tijd meten in plaats van berekenen

Met een oscilloscoop bepaal je τ direct: leg de cursor op 63 % van de eindwaarde en lees de tijd af. Heb je alleen een multimeter, maak de tijdconstante dan tijdelijk groot — een R van 1 MΩ met een C van 100 µF geeft τ = 100 s — en klok de tijd tot de gemeten spanning 63 % van de eindwaarde bereikt. Uit die gemeten τ volgt de werkelijke capaciteit als C = τ/R, wat meteen de eenvoudigste manier is om een verdachte elco na te meten. Dat is dezelfde meting die de tijdconstante-calculator vooruit rekent, alleen dan achterstevoren.

Het verband met het frequentiedomein en de 555

Dezelfde RC-combinatie heeft twee gezichten. In het tijddomein is het een vertraging met tijdconstante τ; in het frequentiedomein een filter met afsnijfrequentie fc = 1/(2πτ). Onze voorbeeld-RC van 103,4 ms hoort dus bij een afsnijfrequentie van 1,54 Hz — traag, zoals bedoeld voor een inschakelvertraging. De achtergrond daarvan staat in de gids over het RC-filter en de afsnijfrequentie, en je rekent het na met de RC-afsnijfrequentie-calculator.

De 555-timer maakt dit expliciet: zijn interne comparatoren liggen op 1/3 en 2/3 van de voedingsspanning, en de tijd tussen die twee drempels is precies τ·ln2 = 0,693τ. Dat is waar de factoren 0,693 en 1,1 in de standaardformules van de astabiele en monostabiele 555 vandaan komen; ze zijn niet uit de lucht gegrepen maar een logaritme in vermomming. Voor de inductieve tegenhanger van dit alles, met τ = L/R, is er de RL-tijdconstante.

Drie fouten die je hiermee voorkomt

• τ verwarren met de schakeltijd. Alleen bij een drempel van 63 % vallen ze samen; bij 90 % heb je 2,3τ nodig en bij 99 % 4,6τ.
• De tijd tot de helft op 0,5τ schatten. Het is 0,693τ — bijna 40 % meer dan de intuïtie zegt.
• Lange tijden met een enorme weerstand maken. Boven ongeveer 1 MΩ gaan lekstroom en ruis de uitkomst bepalen. Vergroot liever de capaciteit.

De eenheden waarin hier gerekend wordt — de seconde, de farad en de ohm — zijn vastgelegd in het SI-stelsel van het BIPM; de componentnormen komen van de International Electrotechnical Commission en, in Nederlandse uitgave, van NEN.